• 형 변환(캐스팅)이 무엇인지 안다

• 부동 소수점에 대해 자세히 알아본다.

• 비트, 바이트에 대해 알아본다.

안녕하세요, 여러분! 이제 드디어 10 번째 강좌에 도달하였습니다. 아마 여태까지 느릿 느릿 진행되는 강좌를 꾸준히 기다리며 읽어와준 여러분들께 감사의 말을 전하고 싶습니다.

아마 잘 알고 있는 내용이지만 C 언어에서 각 변수들에는 고유의 형(type) 이 있습니다. 예를 들어서, int a; 로 선언된 변수 a 의 형은 int 형이고, char b; 로 선언된 변수 b 의 형은 char 형 입니다.

또한 float c; 로 선언된 변수 c 의 형은 float 이고 double d; 로 선언된 변수 d의 형은 double 이겠죠.

그런데 가끔씩 프로그래밍을 하다 보면 형이 다른 변수 끼리 대입을 하는 연산이 필요로 하게 됩니다. 예를 들어서 double 형 변수의 값을 int 형 변수에 대입하거나, float 형 변수에 double 형 변수의 값을 대입하는 것 등등 말이죠.

하지만 안타까운 사실은 형이 다른 변수 끼리의 대입이나 연산들이 모두 불법 이라는 것 입니다. 이건 마치 우리나라에서 달러로 물건을 구매하는 것과 똑같은 것이지요.. 그렇다면 어떻게 해야 할까요?

  일단, 위 조건을 무시한 아래의 예제를 살펴 봅시다.

/* 무시 */
#include <stdio.h>
int main() {
  int a;
  double b;

  b = 2.4;
  a = b;

  printf("%d", a);
  return 0;
}

성공적(?) 으로 컴파일 한다면 아래와 같은 모습을 볼 수 있습니다.

실행 결과

2

어라, 아무런 애러도 없이 결과가 떡 하니 출력되었지만 눈썰미가 좋은 사람들은 Output 에 아래와 같은 메세지가 출력되었음을 알 수 있습니다.

  대충 직역해 보면 아래와 같은 의미 입니다.

컴파일 오류

경고 C4244 : '=' ": 'double' 로 부터 'int' 로의 형 변환, 데이터의 손실이 예상됨.

아마도 우리가 처음 보게 되었을 컴파일러 경고(Warning) 메세지 입니다. 똑똑한 컴퓨터는 우리가 int 형 변수에 double 형 변수의 값을 대입했다고 이야기 하고 있습니다. 또한, 데이터의 손실이 발생하게 된다고 귀띰까지 해주고 있습니다.

실제로, 결과를 확인해보면 데이터 손실이 발생하였음을 알 수 있습니다. 실행 결과를 보게 된다면 분명히 a 에 2.4 를 대입하였지만 a 의 결과는 2 로 나옵니다. (물론 %d 를 통해 정수 부분만 출력하게 해서 그렇다고 주장하는 사람들이 있는데 그렇다면 %f 로 바꿔서 출력해 보세요. 더 이상한 결과가 나올 것 입니다!)

int 형 변수에 (당연하게도, 3, 4 강을 제대로 배운 사람이라면 알겠지만) double 형 변수를 대입하면 소수 부분이 잘려서 정수 부분만 들어가게 됩니다. 이는 각 변수들이 메모리 상에 저장되는 특징이 다르기 때문이죠. 왜냐하면 int 형 변수는 처음 정의되는 시작 부터 메모리 상에 오직 정수 데이터만 받아 들이도록 설계되기 때문이죠.

  그렇다면 훌륭한 학생이라면 여기서 의문이 생기게 됩니다.

  "도대체 컴퓨터는 실수를 어떻게 표현하는 거야!"

 컴퓨터가 실수를 표현하는 원리

기본적으로 모두가 알고 있듯이 (설마..) 컴퓨터는 이진 - 즉 바이너리(Binary) 시스템으로 설계되어 있습니다. 3 번째 강좌에서 잠깐 이야기 한 것 같은데 이진 이란, 오직 두 가지 숫자인 0 과 1 밖에 사용하지 않는 시스템 입니다. 참으로 불쌍하지 않습니까? 우리는 무려 10 가지의 숫자 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) 를 사용해 숫자를 표현하는데 컴퓨터는 0 과 1 밖에 사용하지 않기 때문이죠. 컴퓨터가 이렇게 0 과 1 밖에 표현하지 못하는 이유는 컴퓨터는 0 을 전류가 흐르지 않는 상태로, 1 을 전류가 흐르는 상태로 표현하기 때문이죠.

예를 들어서, 3 의 경우 11, 10 의 경우 1010 으로 표현됩니다. 이렇게 컴퓨터 상의 1 자리 수를 '비트(bit)' 라고 합니다. 다시 말해 1 비트로 오직 두 가지 숫자 - 0 과 1 밖에 표현할 수 없겠지요. 머리가 조금 좋은 사람이라면 컴퓨터 상에서 우리가 '3' 이라고 말하는 숫자가 2 비트를 차지하고 우리가 '15' 라고 말하는 수는 4 비트 (1111) 를 차지함을 알 수 있습니다.

그런데, 우리가 다루는 숫자가 커짐에 따라 컴퓨터에서 차지하는 비트 수가 늘어나게 되죠. 예를 들어서 256 만해도 9 비트 (100000000) 를 차지하게 됩니다. 십진수로는 3 자리 밖에 차지하지 않는데 말이죠. 그래서, 사람들은 편의를 위해서 8 비트를 1 바이트(Byte) 로 부르기로 했습니다. 따라서, 1 바이트로 최대한 표현되는 수는 0, 1, 2(10), 3(11), 4(100),... 255(11111111) 까지 256 개의 수를 표현할 수 있게 됩니다.

앞서 3 강에서 말했지만 int 형 변수는 4 바이트를 차지한다고 했습니다. 따라서, int 형 변수로 최대한 나타낼 수 있는 수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...... 21,4748,3647 (11111111111111111111111111111111, 1 이 32 개) 까지 나타낼 수 있습니다. 하지만, 여기까지는 정수 였습니다. 사실 이렇게 놓고 보면 정수라는 것이 정말 아름답다고 생각하지 않으세요? 컴퓨터로써도 말이지요. 정수는 이진수와 십진수가 정확하게 데이터 손실 없이 계산이 가능합니다. 하지만, 소수(Decimal Number) 은 아니지요.

컴퓨터 상에서 실수를 표현하는 방법은 대표적으로 두 가지를 들 수 있는데 한 가지가 고정 소수점(Fixed Point) 방식이고 다른 한 가지는 부동 소수점(Floating Point) 방식 입니다. 그런데 여러분이 사용하시는 대부분의 컴퓨터는 '부동 소수점' 방식을 채택하고 있는데 그 이유가 매우 큰 수를 표현 할 수 있기 때문이죠. (참고로 부동 소수점 방식을 통해 수를 표현하는 방법은 국제전기전자기술자협회(IEEE) 에서 1985년에 IEEE-754 라는 이름으로 규격화 하였습니다.)

보통 우리가 수를 표현하는 방법은 아래와 같습니다.

$$123, 1234.123, -234$$

그런데, 지수를 이용해서 똑같이 표현할 수 있습니다.

$$1.23 \times 10^2, 1.234123 \times 10^{-2}, -2.34 \times 10^2$$

제가 중학교 때 위 사실을 배웠을 때 에는 '저게 뭐에 쓸모 있는거지?' 라고 생각 되었지만, 사실 위는 컴퓨터 상에서 실수를 표현하는 아주 중요한 기법 입니다. 컴퓨터 상에서 소수를 다음과 같이 표현합니다.

$$ f \times b^e$$

이 때, f 는 가수, b 는 밑, e 는 지수 입니다. 위 123 의 경우 f 는 1.23, b 는 10, e 는 2 가 되겠군요. 컴퓨터 상에서는 이진체계를 이용하기 때문에 b = 2 가 됩니다. 물론 f 도 이진법으로 쓰여있는 수 이겠죠. 물론 컴퓨터는 f, e 의 값만 메모리에 저장하게 됩니다. 굳이 b 를 메모리에 저장할 필요가 없는 이유는 컴퓨터 자체게 2 진 체계를 쓰기 때문에 따로 저장할 필요가 없게 되죠. 사실 여기서 1 비트를 더 쓰게 되는데 이는 부호를 나타내는 비트 입니다. 대부분 이 비트의 값이 0 이면 양수이고, 1 이면 음수가 됩니다.

아래 그림은 IEEE 754 에서 정의한 부동 소수점 표현 입니다.

가수(Mantissa) 부분이 f 비트를 차지하고, 지수(Exponent) 부분이 e 비트, 그리고 맨 앞의 1 비트를 차지하는 부호(Sign) 비트가 있습니다. 우리가 자주 쓰는 float 의 경우 (이제, 왜 float 이 float 인 지 알겠죠?), 가수 부분이 23 비트를 차지하고, 지수 부분이 8비트, 그리고 부호 비트가 1 비트를 차지하여 총 4 바이트를 차지하게 됩니다. 한편 double 의 경우 가수 부분이 52 비트고 지수 부분이 11 비트로 무려 8 바이트가 차지하는 거대 자료형 입니다.

이제, 본격적으로 메모리 상에 실수가 어떻게 저장되는지 알아보기 위해 이진법으로 표현된 실수들을 십진법으로 바꾸고, 십진법으로 표현된 실수를 어떻게 이진법으로 바꾸는지 알아야 합니다.

 먼저, 이진법으로 표시된 소수를 한 번 십진법을 바꾸어 보는 연습을 해봅시다.

$$10010.1011_{(2)}$$

아마 이진법이 무엇인지 잘 알고 있는 사람이라면 위 이진소수를 아래와 같은 식으로 바꿀 수 있을 것 입니다. ( 십진법으로 바꾸면 18.6875, 소수점 이하 부분은 2 의 -1 승, -2 승 으로 생각하시면 되요)

$$10010.1011_{(2)} = 2^4 + 2^1 + 2^{-1} + 2^{-3} + 2^{-4} = 18 + 0.5 + 0.125 + 0.0625= 18.6875$$

다시말해 2 진법으로 표시된 소수들도 모두 십진법으로 변환이 가능하다는 것입니다. 그렇다면 십진법 소수도 과연 이진법으로 바꿀 수 있을까요? 이번에는 -118.625를 한 번 이진소수로 바꾸어 봅시다.

$$-118.625 = -1110110_{(2)} - 0.625 = -1110110_{(2)} - 2^{-1} - 2^{-3} = -1110110.101_{(2)}$$

우와, 십진법으로 표시된 숫자들도 이진소수로 바꿀 수 있었군요. 이제, 마지막으로 위와 같이 이진법으로 바뀐 소수가 어떻게 컴퓨터 메모리에 저장되는지 알아보도록 합시다.

일단, 우리가 컴퓨터 에게 소수를 입력하게 되면 컴퓨터는 이 소수를 이진법으로 바꾸는 과정을 거치게 되는데 이 과정은 위에서 나온 과정과 비슷합니다. 그런데, 문제는 이렇게 십진법으로 표현된 소수를 이진법으로 바꾸는 데 에서 오차가 발생하게 되는데 위 -118.625 는 오차 없이 깔끔하게 이진법으로 바뀌었으나 대부분의 소수들은 이진법으로 바뀔 때 오차가 발생합니다.

심지어는 십진법으로 아주 간단하게 나타나는 0.1 조차 이진법으로 바꾼다면 아래와 같이 무한 소수가 나타나게 됩니다.

$$0.1 = 2^{-4} + 2^{-5} + 2^{-8} + 2^{-9} + \cdots = 0.0001100110011..._{(2)}$$

밑기지 않는 분들은 무한 등비수열의 합을 구하는 방법을 안다면 0.1 이 바뀐 무한 이진소수가 참임을 알 수 있습니다.

$$ 0.001100110011..._{(2)} = \frac{\frac{1}{2^{4}}}{1 - \frac{1}{2^{4}}} + \frac{\frac{1}{2^{5}}}{1 - \frac{1}{2^{4}}} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}$$

컴퓨터는 이렇게 무한히 길게 나타나는 무한 소수들을 모두 메모리에 나타낼 수 없기 때문에 일정 부분만 잘라서 메모리에 보관하게 됩니다. 따라서 오차가 발생하게 됩니다.

이제, 이진 소수로 입력한 실수를 바꾸었다면 부호 비트를 할당하게 됩니다. 앞서, -118.625 의 경우 부호 비트에 1 이 할당 됩니다. (음수 이기 때문이죠) 만약 우리가 118.625 를 입력하였더라면 부호 비트에 0 이 할당되게 됩니다.

두 번째로 변환된 이진수를 정규화(Normalization) 합니다. 말이 조금 어렵지만 사실을 매우 간단한 작업 입니다. 정규화란, 어떠한 이진수를 1.xxxx 꼴로 만드는 것이지요. -118.625 의 경우,  이진수 형태인 1110110.101 을 1.110110101 로 바꾸는 것 입니다.  그렇다면 가수 부분에는 xxxx 부분, 즉 110110101 만 저장이 되겠지요.

이 때, 정규화 작업 시 얼마만큼 쉬프트 연산이 일어났는지 계산하여 지수 부분에는 얼마가 와야 되는지 알게 됩니다. 위의 경우 1110110.101 을 1.110110101 로 바꾸었으므로 쉬프트 연산이 6번 오른쪽으로 일어나게 되어서 지수에는 6 이 오게 됩니다. 만약에, 0.1 처럼 무한 소수로 표현되는 수들의 경우 반올림을 하게 됩니다. 예를 들어 0.1 = 0.00011001 10011001 10011001 10011001 10011001 .. 로 나가는데, float 에 대입한다고 하면 float 의 가수 부분이 23 비트이므로 24 번째 비트에서 반올림을 하게 됩니다. 따라서, 0.1 은 컴퓨터 상에 0.00011001100110011001101 로 보관 되겠지요.

마지막으로 위에서 계산한 지수에 바이어스(Bias) 처리를 해줍니다. 이 역시 말이 조금 어렵지만 지수에!

$$ 2^{e - 1} - 1 $$

만큼을 더해주는 것 입니다. 이 때, e 의 값은 지수 부분의 비트 수로, float 형 이면 8 비트 이므로 127, double 형이면 11 비트 이므로 1023 을 더하게 됩니다.

왜 계산한 지수에 바이어스 처리를 해주냐면은, 지수가 언제나 양수가 아니기 때문입니다. -118.625 의 경우 정규화 시 지수가 +6 이였으나 다른 소수들의 경우 - 예를 들어 0.625 는 이진수로 0.101 인데 정규화 시, 왼쪽으로 쉬프트가 1 번 되므로 지수가 음수(-1) 가 됩니다.

그렇다면, 지수 부분에 음수가 들어갈 경우를 대비하여 지수를 위한 부호 비트를 설정해야 되는 것 아니냐? 라고 물어 볼 수 있습니다. 하지만 컴퓨터 기술자들은 힘들게 부호 비트를 하나 더 설정하느니, 차라리 위 처럼 바이어스 처리를 하여 지수 부분에 무조건 양수만 오게 한 것입니다.

따라서, 만약 우리가 float 형 변수를 이용하게 된다면 위 바이어스 처리를 통해 지수가 -127 부터 127 일 때 까지 처리가 가능하게 되었습니다. 물론 double 형 변수를 이용하면 지수가 무려 -1023 ~ 1023 일 때 까지도 처리가 가능하겠지요.

일단 여기서  -118.625 를 float 형 변수에 대입하였다고 합시다. 그렇다면 6 + (127) = 133 이 지수 부분에 들어가게 됩니다. 133 은 이진수로 10000101 이지요. 따라서, float a = -118.625; 를 한 변수 a 의 메모리 구조를 살펴보면 아래와 같습니다.

이 때, 훌륭한 학생이라면 의문이 드는 점이 있을 것 입니다. 위에서 float 형 변수를 이용하게 되면 지수가 -127 부터 127 까지 처리가 된다고 하였는데, 8 비트로 처리할 수 있는 수의 범위가 0 ~ 255 까지 이므로 -127 ~ 128 까지 처리가 되야 되는 것 아닌가? 맞다. 하지만 제가 127 까지 된다고 한 이유는 IEEE 에서 아래와 같이 규칙을 정했기 때문입니다.

다시말해, 지수부를 127 까지 밖에 이용을 안하냐면, 여러 특별한 수 들을 표현하기 위해 입니다. 위 표에도 잘 나와 있듯이, 지수부가

$$2^e − 1$$

즉 float 의 경우 지수부에 255 가 들어갈 때, (원래 수의 지수가 128 일 때와 동일) 가수부에 0 이 들어가면 이 수가 '무한대' 임을 표현하기 위해입니다. 또한, 위 경우 가수부에 0 이 들어가지 않는다면 NaN 을 나타내는데, 이는 0/0, 0/∞, 0/∞, ∞/∞ 와 같은 잘못된 값 들을 표현하기 위함 입니다.

이 때, 표의 세 번째 행에 '비정상 수' 라고 나온 부분이 있는데 비 정상수는 부동 소수점 방식으로 표현될 수 있는 최소의 수 보다도 더 작은 수 들을 비정상 수 라고 부르게 됩니다. float 형의 경우

$$2^{−127}$$

보다 작은 수들을 말하게 됩니다.

아무튼, 부동 소수점에 대한 이야기는 여기서 마치도록 하겠습니다. 사실, 부동 소수점에 관한 이야기는 초보자 한데는 적합하지 않은 것이 사실인데  아무튼, 한 번쯤 들어 놓으면 좋은 주제니까 한 번 해 보았습니다. 이제, 다시 형 변환 이야기로 넘어가도록 하죠.

 형 변환 (캐스팅)

그렇다면 우리는 경고가 나오지 않게 대입을 할 수 없는가요? 물론 있습니다. 서로의 형을 맞추어 버리면 되죠.

/* 형변환 */
#include <stdio.h>
int main() {
  int a;
  double b;

  b = 2.4;
  a = (int)b;

  printf("%d", a);
}

성공적으로 컴파일 하면 아무리 눈을 굴려보아도 오류 나 경고 따위는 눈을 씼고 찾을 수 없게 됩니다. 그래서, 부푼 마음에 실행을 해 보면...

실행 결과

2

결과는 아까와 같은 2 입니다.

하지만, 아까와 같은 경고 메세지는 출력이 되지 않았습니다. 왜 일까요? 그 이유는 바로 우리가 강제로 형변환(캐스팅) 을 하였기 때문입니다.

어떠한 변수의 형을 바꿀려면 아래와 같이 하면 됩니다

 (바꾸려는 형) 변수 이름

예를 들어, 위의 경우 double 로 선언된 b 를 int 로 바꾸었으므로 (int)b 라 하면 됩니다. 이 때, 형을 바꾼다는 것은 영구적으로 바뀌는 것이 아닙니다. 다시 말해 double 인 b 를 int 로 캐스팅 한다고 해도 b 가 int 인 변수가 되는 것이 아니라 계산식에서 일시적으로 int 형 변수로 바꾼 후 생각하라는 것 이죠. 즉,캐스팅을 하고도

printf("%f", b);

를 하게 되면 2.4 가 성공적으로 출력됩니다. 위 예제에서 우리는 강제로 형을 변환하였습니다. 따라서 컴파일러는 '아, 이 사람이 마음을 먹고 아예 형이 다른 변수들의 대입을 시도하는 구나' 라고 생각하고 오류 메세지를 출력하지 않게 되는 것 입니다.

/* 두 수의 비율 */
#include <stdio.h>
int main() {
  int a, b;
  float c, d;

  printf("두 숫자 입력 : ");
  scanf("%d %d", &a, &b);

  c = a / b;
  d = (float)a / b;

  printf("두 수의 비율 : %f %f", c, d);

  return 0;
}

성공적으로 컴파일 하면 (경고는 나오지만), 예를 들어 5 와 3 을 입력하였을 때 아래와 같이 나옵니다.

실행 결과

두 숫자 입력 : 5 3
두 수의 비율 : 1.000000 1.666667

  와우! 신기하네요. 단지 형변환을 하고 안하고의 차이였지만 두 수의 비율이 하나는 정확하게 나오고 다른 하나는 부정확하게 나오는 군요. 일단, 위 예제에서 관건이 되는 부분은 바로 이 부분입니다.

c = a / b;
d = (float)a / b;

c 에는 a 를 b 로 나눈 값이 들어갑니다. d 에도 마찬가지인데 한 가지 차이점은 d 에서는 a 를 float 변수로 생각해서 계산하라라고 캐스팅 하였습니다. 이 때, 우리가 주목해야 하는 부분은 바로 a 와 b 가 정수형 변수라는 것 입니다.

컴퓨터에서 a/b 는 2 가지의 의미를 가집니다. 만약 a 와 b 중 어느 하나가 실수형 변수(float, double) 이라면 이는 정말 우리가 하는 나눗셈을 수행하게 됩니다. 다시말해 5/3 = 1.666666666666666666 이 되는 것 이죠. 하지만 a 와 b 가 모두 정수형 변수(char, int, long) 라면 컴퓨터는 위와 같은 나눗셈 연산을 수행하지 않고 소위 말하는 '몫' 을 계산하게 됩니다. 따라서 5/3 = 1 이 되는 것이지요.

따라서, (float)a/b 를 하게 되면 컴퓨터가 a 를 실수형 변수로 생각해가 되므로 a/b 처럼 몫을 계산하지 않고 정말로 실수형 나눗셈을 수행하게 된다는 것입니다. 따라서 d 에는 1.6666 ... 이 성공적으로 들어갈 수 있게 됩니다.

어때요? 형변환 하나로 많은 결과가 달라지지 않습니까? 실제로 형변환은 C 언어에서 매우 중요한 부분 중 하나 입니다. 또한 쓰임새도 상당히 많은데, 주로 실수형 변수에서 정수 부분만 추출할 때 사용되기도 합니다.

예를 들어 double a; int b; 일 때, b = (int)a; 라 하게 되면 변수 a 의 정수 부분 데이터만 b 로 넘어가게 되죠. 물론 b = a 로 해도 컴파일러가 알아서 캐스팅을 해주지만 그렇게 된다면 다른 프로그래머가 보았을 때, 이 것이 실수 인건지, 고의로 한 건지 모르므로 오해의 소지가 있습니다.

마지막으로 여러분에게 재미있는 문제를 내 보도록 하죠. www.winapi.co.kr 이라는 사이트에서 가져온 문제인데, 여러분도 한 번 풀어보세요

생각 해보기

문제 1

임의의 실수에서 소수점 이하 두자리수만 추출하여 정수형 변수에 대입하라. 예를들어 사용자로부터 입력받은 실수 f 가 12.3456이라면 34만 추출한다. 이때 반올림은 고려하지 않아도 상관없다. f 가 달러 단위의 화폐 액수라고할 때 센트 단위만 추출해내는 경우라고 생각하면 된다. 다음 ???? 자리에 적합한 연산식을 작성하는 문제이다.

예를들어 사용자로부터 입력받은 실수 f 가 12.3456이라면 34만 추출한다. 이때 반올림은 고려하지 않아도 상관없다. f 가 달러 단위의 화폐 액수라고할 때 센트 단위만 추출해내는 경우라고 생각하면 된다. 다음 ???? 자리에 적합한 연산식을 작성하는 문제이다.

printf("실수를 입력하시오 : ");
scanf("%f", &f);
i = ? ? ? ? printf("i=%d\n", i);

이 문제의 핵심은 음수이거나 소수점 이하의 자리수가 없는 경우까지 잘 고려하여 항상 잘 동작하는 코드를 만드는것이다.